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    【题目】如图，在四面体中，，.

    （1）证明：平面平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】（1）详见解析；（2）.

    【解析】

    (1) 设为的中点，连接，.易知，从而平面，故平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直线与平面所成角的正弦值.

    （1）证明：设为的中点，连接，.

    ∵是的中点，

    ∴在中，，即为等边三角形，

    ∴，∴.

    在中，，，

    ∴，且，

    于是，可知.

    ∵，∴平面，

    ∵平面，∴平面平面.

    （2）解：由（1）知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.

    则，，，，

    设平面的法向量，，，

    则，令，得，又.

    设直线与平面所成角为，

    则，即直线与平面所成角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    【题目】已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（ ）

    A. B.

    C. D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：

    学生的编号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    数学

    89

    87

    79

    81

    78

    90

    物理

    79

    75

    77

    73

    72

    74

    （1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；

    （2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程.

    参考数据和公式：，其中，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.

    （1）求该椭圆的方程；

    （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数。

    （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

    （2）若对任意恒成立，求的取值范围。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数,若函数在内有两个极值点，则实数的取值范围是( )

    A. B. (0,1)

    C. (0,2) D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数为奇函数．

    （1）求a的值，并证明是R上的增函数；

    （2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

    某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

    性别

    选考方案确定情况

    物理

    化学

    生物

    历史

    地理

    政治

    男生

    选考方案确定的有8人

    8

    8

    4

    2

    1

    1

    选考方案待确定的有6人

    4

    3

    0

    1

    0

    0

    女生

    选考方案确定的有10人

    8

    9

    6

    3

    3

    1

    选考方案待确定的有6人

    5

    4

    1

    0

    0

    1

    （Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?

    （Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；

    （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量，求．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四边形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分别为， ， 的中点.

    （1）求证： 平面；

    （2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

    （3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

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