Question

【题目】已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.

（1）求该椭圆的方程；

（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式及焦点即可得方程；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立得，设，由线段的中点在直线上，得，假设在轴上存在定点， ，进而得，即可求得，当直线的斜率不存在时，易得成立.

试题解析：

（1）∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，

又，∴，

∴该椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，

，

设，则， ，

∵弦的中点在直线上，∴ ，

∴ ，∴，

将代入得，

假设在轴上存在定点， ，

∴ ，

∴ ，即，

当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，综上， 轴上存在定点.