四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.
(Ⅰ)求该四面体的体积的最大值;
(Ⅱ)当四面体的体积最大时,求其表面积.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201306/51d5f435ddf6d.png)
解:(Ⅰ)如图,
在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,
BC的中点为E,连接BP、EP、CP.
∵AB=BD,P为AD中点,∴BP⊥AD,
∵AC=CD,P为AD中点,∴PC⊥AD,
又BP∩PC=P,∴AD⊥平面BPC,
∴V
A-BCD=V
A-BPC+V
D-BPC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8.png)
S
△BPC•AP+
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8.png)
S
△BPC•PD
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8.png)
S
△BPC•AD
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8.png)
×
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
a×
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119528.png)
•x
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119529.png)
≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/59517.png)
•
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119530.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112.png)
a
3(当且仅当x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/5054.png)
a时取“=”).
∴该四面体的体积的最大值为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112.png)
a
3.
(Ⅱ)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/5054.png)
a,
∴S
△ABC=S
△BCD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119531.png)
,
S
△ABD=S
△ACD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119532.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119533.png)
所以当四面体的体积最大时,其表面积S=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119534.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/68795.png)
a
2.
分析:(Ⅰ)设出四面体A-BCD,不妨设棱AB、AC、BC、BD、CD相等且为定值a,把棱AD看作动的棱,设为x,取AD的中点P,
连接BP、CP后,四面体A-BCD分成了两个同底面的三棱锥A-BPC和D-BPC,四面体的体积转化为此两个三棱锥的体积和,整理后化为关于x的函数,然后运用基本不等式求四面体体积的最大值.
(Ⅱ)求出使四面体体积最大时的x的值,四面体的表面积就是表面四个三角形的面积和,可直接运用三角形的面积求解.
点评:本题考查了棱锥的体积和表面积,考查了学生的空间想象能力和数学转化能力,考查了函数思想,运用了基本不等式求函数的最值,此题是中档题.