Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，对角线，交于点．

（Ⅰ）若，求证：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求证：；

（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点），使得平面？说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不存在，理由详见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据菱形的对角线互相垂直，再结合已知垂直条件，利用线面垂直的判定定理可以证明出平面；

（Ⅱ）由面面垂直的性质定理和菱形的对角线互相垂直，可以得到，再根据菱形对角线互相平分，这样可以证明出；

（Ⅲ）假设存在，根据菱形的性质和已知的平行条件， 可以得到平面平面，显然不可能，故假设存在不成立，故不存在，命题得证.

（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，

所以．因为，，平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：连接．

由（Ⅰ）可知．

因为平面平面，

所以平面．

因为平面，

所以．

因为底面是菱形，

所以．

所以．

（Ⅲ）解：不存在，证明如下．

假设存在点（异于点），使得平面．

因为菱形中，，且平面，

所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

这显然矛盾！

从而，棱上不存在点，使得平面．