Question

已知f（x）=丨2x-a丨-a（a∈R），不等式f（x）≤2的解集为{x丨-1≤x≤3}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若丨f（x）-f（x+2）丨≤m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用不等式转化为绝对值不等式，求出不等式的解集，与已知解集比较，即可求a的值；
（Ⅱ）求出丨f（x）-f（x+2）丨的最大值，然后通过不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|2x-a|-a≤2，得|2x-a|≤2+a，
∵解集不空，
∴2+a≥0．
解不等式可得{x|-1≤x≤1+a}．…（3分）
∵-1≤x≤3，∴1+a﹦3，即a=2．…（5分）
（Ⅱ）f（x）-f（x+2）=|2x-2|-|2x+2|，
∵|2x-2|-|2x+2|≤|（2x-2）-（2x+2）|=4．…（7分）
|2x-2|-|2x+2|≥|2x|-2-（|2x|+2）=-4．…（9分）
∴-4≤|2x-2|-|2x+2|≤4．
∴|f（x）-f（x+2）|≤4．
∴m≥4．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．