Question

9．已知双曲线与$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线被圆（x-c）²+y²=4a²截得弦长为2b（双曲线的焦距2c），则该双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求得a与b的关系，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线方程为bx+ay=0，
圆（x-c）²+y²=4a²的圆心（c，0）到双曲线的渐近线的距离为：$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
∵渐近线被圆（x-c）²+y²=4a²截得的弦长为2b，
∴b²+b²=4a²，
∴b²=2a²，即c²=3a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程及离心率的求法，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．