Question

【题目】已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,（单位：cm），且要求 ，部件的面积是．

（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；

（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）时，面积最小，.

【解析】

（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可．

（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．

（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，

可得，整理得，

又由，解得，即函数的定义域为，

即，．

（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，

过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，

所以=，

因为x2＞0，由基本不等式，可得，

当且仅当，即时，取等号，

所以圆形铁片的最小面积为（cm2），

答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．