Question

【题目】如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.

（1）求动点的轨迹；

（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；

（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点．

（1）设，，.

由，得，即.

因为，所以，所以.

所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.

（2）证明：设点，，

若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，

又，，所以，

，整理得，

所以.

（3）因为，

所以，

即，①

直线的方程为：，

整理得：，②

将①代入②得，即，

当时，

即直线经过定点.