【题目】已知椭圆:
的离心率
,过椭圆的左焦点
且倾斜角为
的直线与圆
相交所得弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线
与椭圆
交于
两点,且
,若存在,求直线
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)存在;
或
或
.
【解析】
(1)运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式,结合,
,
的关系,解方程可得
,
,进而得到椭圆方程;
(2)讨论直线的斜率存在和不存在,当斜率存在时
则存在
和
的两种情况,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理求出斜率
,即可求出直线方程。
(1)由题意可得,
过椭圆的左焦点且倾斜角为
的直线方程为:
,
由直线与圆相交所得弦的长度为
,
可得,
又,
解方程可得,
,
,
即有椭圆的方程为;
(2)设
①若直线垂直于
轴,
与椭圆交于
,
取,
,满足
②直线不垂直于
轴时,设方程为
,代入椭圆方程
得
,
①,
②
对于,包含两种情况
i),即
,
∴,即
代入①②得,消去
得
,解得
,满足
的方程为
或
ii) ,即
∴
代入①②得,消去
得
,有
,无解
综上的方程为
或
或
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【题目】如图,已知顶点,
,动点
分别在
轴,
轴上移动,延长
至点
,使得
,且
.
(1)求动点的轨迹
;
(2)过点分别作直线
交曲线于
两点,若直线
的倾斜角互补,证明:直线的斜率为定值;
(3)过点分别作直线
交曲线于
两点,若
,直线
是否经过定点?若是,求出该定点,若不是,说明理由.
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【题目】已知一个口袋有个白球,
个黑球,这些球除颜色外全部相同,现将口袋中的球随机逐个取出,并依次放入编号为
,
,
,
的抽屉内.
(1)求编号为的抽屉内放黑球的概率;
(2)口袋中的球放入抽屉后,随机取出两个抽屉中的球,求取出的两个球是一黑一白的概率.
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【题目】(本题满分15分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(
,
).
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
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【题目】下列结论中正确的是( )
A.半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B.直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D.用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台
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【题目】平面直角坐标系中,椭圆C:
的离心率是
,抛物线E:
的焦点F是C的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证:点M在定直线上;
(ii)直线与y轴交于点G,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】已知正项等比数列的前
项和为
,且
,
。数列
的前
项和为
,且
。
(1)求数列的通项公式及其前
项和
;
(2)证明数列为等差数列,并求出
的通项公式;
(3)设数列,问是否存在正整数
,使得
成等差数列,若存在,求出所有满足要求的
;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知函数是
上的偶函数,对于任意
都有
成立,当
,且
时,都有
.给出以下三个命题:
①直线是函数
图像的一条对称轴;
②函数在区间
上为增函数;
③函数在区间
上有五个零点.
问:以上命题中正确的个数有( ).
A.个B.
个C.
个D.
个
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