【题目】平面直角坐标系中,椭圆C:
的离心率是
,抛物线E:
的焦点F是C的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证:点M在定直线上;
(ii)直线与y轴交于点G,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
的最大值为
,此时点
的坐标为
【解析】
试题(Ⅰ)根据椭圆的离心率和焦点求方程;
(Ⅱ)(ⅰ)由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上;
(ⅱ)分别列出,
面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
试题解析:(Ⅰ)由题意知:,解得
.
因为抛物线的焦点为
,所以
,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(1)设,由
可得
,
所以直线的斜率为
,其直线方程为
,即
.
设,联立方程组
消去并整理可得
,
故由其判别式可得
且
,
故,
代入可得
,
因为,所以直线
的方程为
.
联立可得点
的纵坐标为
,即点
在定直线
上.
(2)由(1)知直线的方程为
,
令得
,所以
,
又,
所以,
,
所以,令
,则
,
因此当,即
时,
最大,其最大值为
,此时
满足
,
所以点的坐标为
,因此
的最大值为
,此时点
的坐标为
.
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【题目】(1)求与直线3x+4y-7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程;
(2)求经过直线l1:2x+3y-5=0与l2:7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求和
的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线
所得线段的中点坐标为
,求
的斜率.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,过椭圆的左焦点
且倾斜角为
的直线与圆
相交所得弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线
与椭圆
交于
两点,且
,若存在,求直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数的定义域为
,且存在实常数
,使得对于定义域内任意
,都有
成立,则称此函数
具有“性质
”
(1)判断函数是否具有“
性质”,若具有“
性质”,则求出
的值;若不具有“
性质”,请说明理由;
(2)已知函数具有“
性质”且函数
在
上的最小值为
;当
时,
,求函数
在区间
上的值域;
(3)已知函数既具有“
性质”,又具有“
性质”,且当
时,
,若函数
,在
恰好存在
个零点,求
的取值范围.
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【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
,外接球的球心为О,点E是侧棱
上的一个动点.有下列判断:
①直线AC与直线是异面直线;
②一定不垂直
;
③三棱锥的体积为定值;
④的最小值为
⑤平面与平面
所成角为
其中正确的序号为_______
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
其中: ,
,
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;(
的值精确到0.01)
(3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06~1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12~1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
【答案】(1)答案见解析;(2) ;(3)中度高血压人群.
【解析】试题分析:(1)将数据对应描点,即得散点图,(2)先求均值,再代人公式求,利用
求
,(3)根据回归直线方程求自变量为180时对应函数值,再求与标准值的倍数,确定所属人群.
试题解析:(1)
(2)
∴
∴回归直线方程为.
(3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为(mmHg)∵
∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】如图,四棱柱的底面为菱形,
,
,
为
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若底面
,且直线
与平面
所成线面角的正弦值为
,求
的长.
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