【题目】在数列{an}中,a1=2,a2=4,且当n≥2时,an2=an-1an+1,;
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)an=2n; (2)Sn=6+(2n-3)×2n+1.
【解析】
(1)由当n≥2时,an2=an-1an+1可判断数列{an}为等比数列,再结合a1=2,a2=4即可求解;
(2)由(1)得bn=(2n-1)2n,再采用错位相减法即可求得;
(1)∵当n≥2时,an2=an-1an+1,∴数列{an}是等比数列,
又∵a1=2,a2=4,∴公比a==2,
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列,∴其通项公式an=2n;
(2)由(1)可知bn=(2n-1)an=(2n-1)2n,
则Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,
两式相减,得:-Sn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1
=2+2×-(2n-1)×2n+1=-6-(2n-3)×2n+1,
∴Sn=6+(2n-3)×2n+1.
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【题目】已知函数,
,
且
.
(1)若为整数,且
,试确定一个满足条件的
的值;
(2)设的反函数为
,若
,试确定
的取值范围;
(3)若,此时
的反函数为
,令
,若对一切实数
,
,
,不等式
恒成立,试确定实数
的取值范围.
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【题目】f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1+(1﹣α)x2)≤αf(x1)+(1﹣α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.
(1)试判断函数f1(x)=x2,中哪些是各自定义域上的C函数,并说明理由;
(2)若f(x)是定义域为的函数且最小正周期为T,试证明f(x)不是R上的C函数.
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【题目】已知函数,
(1)若对任意,
且
,都有
,求实数
的取值范围;
(2)在第(1)问求出的实数的范围内,若存在一个与
有关的负数
,使得对任意
时
恒成立,求
的最小值及相应的
值.
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【题目】如图是某电商2019年12月1日至12月16日的日销售量(单位:件)统计图,销量小于100称为该商品滞销,销量大于200称为该商品畅销,则下列关于该商品在这16天的销量的说法不正确的是( )
A.该商品出现过连续4天畅销
B.该商品畅销的频率为0.5
C.相邻两天该商品销量之差的最大值为195
D.该商品销量的平均数小于200
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【题目】已知圆
(1)求圆关于直线
对称的圆
的标准方程;
(2)过点的直线
被圆
截得的弦长为8,求直线
的方程;
(3)当取何值时,直线
与圆
相交的弦长最短,并求出最短弦长.
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【题目】如图,已知顶点,
,动点
分别在
轴,
轴上移动,延长
至点
,使得
,且
.
(1)求动点的轨迹
;
(2)过点分别作直线
交曲线于
两点,若直线
的倾斜角互补,证明:直线的斜率为定值;
(3)过点分别作直线
交曲线于
两点,若
,直线
是否经过定点?若是,求出该定点,若不是,说明理由.
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