【题目】已知函数,
,
且
.
(1)若为整数,且
,试确定一个满足条件的
的值;
(2)设的反函数为
,若
,试确定
的取值范围;
(3)若,此时
的反函数为
,令
,若对一切实数
,
,
,不等式
恒成立,试确定实数
的取值范围.
【答案】(1)2 (2) (3)
【解析】
(1)将代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于
的方程,化简后即可求得一个
的值.
(2)根据所给,可求得反函数解析式
.根据不等式,先求得右端的最小值及相应的
,将
代入左段并解不等式即可求得
的取值范围
(3)代入可得反函数解析式.将反函数解析代入
,即可求得
的解析式.利用换元法
,将
化为
的表达式.结合反比例函数单调性及不等式
,即可求得
的取值范围.
(1)为整数,
且
.且
代入可得
即
化简可得
则
所以
故满足条件的的值可以是
(2)的反函数为
则
令,代入可得
则,
所以平方化简可得
所以
则
成立,则
即可
令,令
,
即,由打勾函数图像与性质可知当
时为单调递增函数
所以当时
则不等式化为
即,且
且
.
化简可得
即,解得
综上可知,的取值范围为
(3)由(2)可知
当时,
代入
可得
令
则
当,即
时,函数
在
上单调递增
所以此时的值域为
若满足对一切实数,
,
,不等式
恒成立
则只需即可,解得
当,即
时,
,不等式
恒成立
当时,即
.函数
在
上单调递减
此时函数的值域为
若满足对一切实数,
,
,不等式
恒成立
则只需,解不等式可得
综上所述, 的取值范围为
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【题目】已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为.
(1)求动点M轨迹C的方程;
(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值.
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【题目】已知曲线的极坐标方程是
.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
为参数).
(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
相交于
,
两点,且
,求直线
的倾斜角
的值.
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AB= ,AD=2,E,F为线段AB的三等分点,G、H为线段DC的三等分点.将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面,AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径.
(Ⅰ)证明:平面ADHF⊥平面BCHF;
(Ⅱ)若P为DC的中点,求三棱锥H—AGP的体积.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
直角坐标方程;
(2)设为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
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【题目】设为三次函数,且其图象关于原点对称,当
时,
的极小值为-1,则
(1)函数的解析式__________;
(2)函数的单调递增区间为___________。
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【题目】在数列{an}中,a1=2,a2=4,且当n≥2时,an2=an-1an+1,;
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
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