【题目】f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1+(1﹣α)x2)≤αf(x1)+(1﹣α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.
(1)试判断函数f1(x)=x2,中哪些是各自定义域上的C函数,并说明理由;
(2)若f(x)是定义域为的函数且最小正周期为T,试证明f(x)不是R上的C函数.
【答案】(1)是C函数,
不是C函数,理由见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据函数的新定义证明f1(x)=x2是C函数,再举反例得到不是C函数,得到答案.
(2)假设f(x)是R上的C函数,若存在m<n且m,n∈[0,T),使得f(m)≠f(n,讨论f(m)<f(n)和f(m)>f(n)两种情况得到证明.
(1)对任意实数x1,x2及α∈(0,1),有f1(αx1+(1﹣α)x2)﹣αf1(x1)﹣(1﹣α)f1(x2)=(αx1+(1﹣α)x2)2﹣αx12﹣(1﹣α)x22
=﹣α(1﹣α)x12﹣α(1﹣α)x22+2α(1﹣α)x1x2=﹣α(1﹣α)(x1﹣x2)2≤0,
即f1(αx1+(1﹣α)x2)≤αf1(x1)+(1﹣α)f1(x2),
∴f1(x)=x2是C函数;
不是C函数,
说明如下(举反例):取x1=﹣3,x2=﹣1,α,
则f2(αx1+(1﹣α)x2)﹣αf2(x1)﹣(1﹣α)f2(x2)=f2(﹣2)f2(﹣3)
f2(﹣1)
0,
即f2(αx1+(1﹣α)x2)>αf2(x1)+(1﹣α)f2(x2),
∴不是C函数;
(2)假设f(x)是R上的C函数,若存在m<n且m,n∈[0,T),使得f(m)≠f(n).
(i)若f(m)<f(n),
记x1=m,x2=m+T,α=1,则0<α<1,且n=αx1+(1﹣α)x2,
那么f(n)=f(αx1+(1﹣α)x2)≤αf(x1)+(1﹣α)f(x2)=αf(m)+(1﹣α)f(m+T)=f(m),
这与f(m)<f(n)矛盾;
(ii)若f(m)>f(n),
记x1=n,x2=n﹣T,α=1,同理也可得到矛盾;
∴f(x)在[0,T)上是常数函数,
又因为f(x)是周期为T的函数,
所以f(x)在上是常数函数,这与f(x)的最小正周期为T矛盾.
所以f(x)不是R上的C函数.
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【题目】已知函数f(x)=,若g(x)=f(x)-a恰好有3个零点,则a的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
恰好有3个零点, 等价于
的图象有三个不同的交点,
作出的图象,根据数形结合可得结果.
恰好有3个零点,
等价于有三个根,
等价于的图象有三个不同的交点,
作出的图象,如图,
由图可知,
当时,
的图象有三个交点,
即当时,
恰好有3个零点,
所以,的取值范围是
,故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的零点与分段函数的性质,属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点,考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉;另外,函数零点的几种等价形式:函数的零点
函数
在
轴的交点
方程
的根
函数
与
的交点.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】设集合A={0,log3(a+1)},B={a,a+b}若A∩B={1},则b=______.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
直角坐标方程;
(2)设为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最小值,并求此时点
的坐标.
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【题目】设为三次函数,且其图象关于原点对称,当
时,
的极小值为-1,则
(1)函数的解析式__________;
(2)函数的单调递增区间为___________。
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【题目】如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象,由图,可知骑自行车者用了
,沿途休息了
,骑摩托车者用了
,根据这个图象,提出关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发,晚到
;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了后,追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是_________.
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【题目】在数列{an}中,a1=2,a2=4,且当n≥2时,an2=an-1an+1,;
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Sn.
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【题目】成语“半斤八两”意思是一个半斤,一个八两,“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量,“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两,比喻彼此一样,不相上下.成语出自宋·无名氏《张协状元》戏文第28出:“两个半斤八两,各家归去不须嗔.”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器,秤杆上一两一星,每斤共计16克星,分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿.买卖交易时,短1两“减福”,短2两“亏禄”,缺3两“折寿”,商家以“货真价实,童叟无欺”自律.“十六两秤”的计数采用的是十六进制,即“逢十六进一”,若用A表示10,那么转换为十进制为______.(用数字作答)
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【题目】为了调查教师对教育改革认识水平,现从某市年龄在的教师队伍中随机选取100名教师,得到的频率分布直方图如图所示,若从年龄在
中用分层抽样的方法选取6名教师代表.
(1)求年龄在中的教师代表人数;
(2)在这6名教师代表中随机选取2名教师,求在中至少有一名教师被选中的概率.
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