Question

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
（1）若△ABC面积S_△ABC=

3

2

，c=2，A=60°，求a、b的值；
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a²+b²=c²，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，
∴

1

2

b•2sin60°=

3

2

，得b=1，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-2×1×2•cos60°=3，
所以a=

3

．
（2）由余弦定理得：a=c•

a2+c2-b2

2ac

，∴a²+b²=c²，
所以∠C=90°；
在Rt△ABC中，sinA=

a

c

，所以b=c•

a

c

=a，
所以△ABC是等腰直角三角形．

点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．