【题目】数列满足
,
.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)设,数列
的前
项和为
,对任意的
,
,
恒成立,求正数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的定义即可证明:数列是等差数列;
(2)利用错位相减法即可求数列{bn}的前n项和,利用作差法可得数列{
}单调递增,
,
恒成立,只需
即可.
试题解析:
解(1)证明:由已知可得=
,
即=
+1,即
-
=1.
∴数列是公差为1的等差数列.
(2)由(1)知=
+(n-1)×1=n+1,
∴an=.
所以bn=,
Tn=+
+
+…+
,
Tn=
+
+
+…+
.
两式相减得
Tn=
+2
-
,
Tn=
+2×
-
,
Tn=1+4-
=3-
,
由Tn-Tn-1=3--
=
,
当n≥2时,Tn-Tn-1>0,所以数列{Tn}单调递增.
最小为
,
依题意上恒成立,
设
则
又解得
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的单调递减函数
,对任意
都有
,
.
(Ⅰ)判断函数的奇偶性,并证明之;
(Ⅱ)若对任意,不等式
(
为常实数)都成立,求
的取值范围;(Ⅲ)设
,
,
,
,
.
若
,
,比较
的大小并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)若,求
的值;
(2)若存在,使函数
的图像在点
和点
处的切线互相垂直,求
的取值范围;
(3)若函数在区间
上有两个极值点,则是否存在实数
,使
对任意的
恒成立?若存在,求出
的取值范围,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
(
、
为常数).
(Ⅰ)求函数在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当函数在
处取得极值
,求函数
的解析式;
(Ⅲ)当时,设
,若函数
在定义域上存在单调减区间,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为抛物线
:
(
)的焦点,直线
:
交抛物线
于
,
两点.
(Ⅰ)当,
时,求抛物线
的方程;
(Ⅱ)过点,
作抛物线
的切线,
,
交点为
,若直线
与直线
斜率之和为
,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其东北方向与它相距32海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时8海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在离岛24海里处,不让其进入
岛24海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据:
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位需要从甲、乙人中选拔一人参加新岗位培训,特别组织了
个专项的考试,成绩统计如下:
第一项 | 第二项 | 第三项 | 第四项 | 第五项 | |
甲的成绩 | |||||
乙的成绩 |
(1)根据有关统计知识,回答问题:若从甲、乙人中选出
人参加新岗培训,你认为选谁合适,请说明理由;
(2)根据有关槪率知识,解答以下问题:
从甲、乙人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为
,抽到乙的成绩为
,用
表示满足条件
的事件,求事件
的概率.
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