Question

【题目】定义在上的单调递减函数，对任意都有， ．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；

（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设， ， ， ， ．

若 ， ，比较的大小并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；

【解析】【试题分析】（Ⅰ）先取取得，再取得

，进而可得对任意都有，运用定义可证为上奇函数；（Ⅱ）先借助函数的奇偶性、单调性将不等式进行等价转化为，再将不等式中的参数分离出来，将该不等式化为“在上恒成立”问题，最后通过求函数

的值域即可；（Ⅲ）先依据题设条件将的解析式化简求出，再进行分析比较其大小：

（Ⅰ）解: 为上的奇函数

证明：取得

∴

取得

即：对任意都有

∴

∴为上奇函数

（Ⅱ）∵

∴

∵在上单减

∴在上恒成立

∴

∴在上恒成立

在上恒成立

∴当时，

∴

即

（Ⅲ）

∴在单增，在上单减

同理：

∴。