Question

10．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：

	倾向“平面几何选讲”	倾向“坐标系与参数方程”	倾向“不等式选讲”	合计
男生	16	4	6	26
女生	4	8	12	24
合计	20	12	18	50

（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；
（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+b）（b+d）}$．

P（k2≤k0）	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+b）（b+d）}$，求出K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=-3，-1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；
选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K²=$\frac{32（16×8-4×4）^{2}}{20×12×20×12}$≈6.969＞6.635，
∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；
选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K²=$\frac{38×（16×12-6×4）^{2}}{20×18×22×16}$≈8.464＞7.879，
∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，
综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；
（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，
由题意，ξ=-3，-1，1，3，则
P（ξ=-3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，P（ξ=-1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$，
ξ的分布列

ξ	-3	-1	1	3
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{10}{56}$

数学期望Eξ=（-3）×$\frac{1}{56}$+（-1）×$\frac{15}{56}$+1×$\frac{30}{56}$+3×$\frac{10}{56}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查独立性检验、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．