Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（3，cosx+$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（3，sinx-$\frac{1}{3}$），x∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求$\frac{2+2tanx}{1-\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）}$的值．

Answer 1

分析 由已知两向量共线求得$sin（x-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{3}$，结合给出角x的范围，利用配角方法求出sinx，cosx，tanx的值，化简$\frac{2+2tanx}{1-\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）}$后代值得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（3，cosx+$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（3，sinx-$\frac{1}{3}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴3（sinx-$\frac{1}{3}$）-3（cosx+$\frac{1}{3}$）=0，
即3（sinx-cosx）=2，
$3\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）=2$，
∴$sin（x-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∵x∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$），∴x-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$），
∴cos（$x-\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
则sinx=sin[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（x-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（x-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2-\sqrt{14}}{6}$．
cosx=cos[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（x-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$-\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{-2-\sqrt{14}}{6}$．
∴tanx=$\frac{8-2\sqrt{14}}{5}$．
∴$\frac{2+2tanx}{1-\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2+2tanx}{1-\sqrt{2}（sin2xcos\frac{π}{4}+cos2xsin\frac{π}{4}）}$=$\frac{2+2tanx}{1-sin2x-cos2x}$
=$\frac{2+2×\frac{8-2\sqrt{14}}{5}}{1-2×\frac{2-\sqrt{14}}{6}×\frac{-2-\sqrt{14}}{6}-2×（\frac{-2-\sqrt{14}}{6}）^{2}+1}$=$\frac{18-81\sqrt{14}}{50}$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，考查了三角函数的化简与求值，训练了拆角配角思想在解题中的应用，属中档题．