Question

3．满足不等式|$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1|＞$\frac{3}{2}$的x的范围是（$\frac{1}{4}$，1）∪（1，$\root{5}{4}$）．

Answer 1

分析 原不等式化为$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1＞$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1＜-$\frac{3}{2}$，等价于0＜log₂x＜log₂${2}^{\frac{2}{5}}$或-2＜log₂x＜0，解得即可．

解答 解：|$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1|＞$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1＞$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$-1＜-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$＞$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{lo{g}_{2}x}$＜-$\frac{1}{2}$，
即log₂x（5log₂x-2）＜0，或log₂x（log₂x+2）＜0，
∴0＜log₂x＜log₂${2}^{\frac{2}{5}}$或-2＜log₂x＜0，
解得1＜x＜$\root{5}{4}$，或$\frac{1}{4}$＜x＜1，
故不等式的解集为（$\frac{1}{4}$，1）∪（1，$\root{5}{4}$），
故答案为：（$\frac{1}{4}$，1）∪（1，$\root{5}{4}$）．

点评 本题考查对数不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化