Question

13．已知圆x²+y²=4，过点P（0，1）的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 讨论l斜率不存在和存在的情况，当斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离d，求出S_△OAB=$\sqrt{4-{d}^{2}}$•d，利用换元，配方法即可得出结论．

解答 解：当直线l不存在斜率时，S_△OAB=0，
当直线存在斜率时，设斜率为k，则
直线l的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|AB|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
令t=k²+1（t≥1）
S_△OAB=$\sqrt{4-{d}^{2}}$•d=$\sqrt{\frac{4t-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{t}-2）^{2}+4}$，
∴t=1，△OAB面积的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查直线与圆的位置关系，以及配方法的应用，属于中档题．