Question

5．求函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-2{x}^{2}-8x+1}$（-3≤x≤1）的单调区间与值域．

Answer 1

分析 根据题意，设t=-2x²-8x+1，求出t在-3≤x≤1时的值域，再求y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$的值域；根据复合函数的单调性求出函数y=${（\frac{1}{3}）}^{-{2x}^{2}-8x+1}$的单调区间．

解答 解：∵函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-2{x}^{2}-8x+1}$（-3≤x≤1），
设t=-2x²-8x+1，-3≤x≤1；
∴t=-2（x+2）²+9，
当-3≤x≤1时，-9≤t≤9，
∴${（\frac{1}{3}）}^{9}$≤${（\frac{1}{3}）}^{t}$≤${（\frac{1}{3}）}^{-9}$，
即3^-9≤${（\frac{1}{3}）}^{t}$≤3⁹；
∴函数y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$在x∈[1，3]上的值域是[3^-9，3⁹]；
又原函数是由y=${（\frac{1}{3}）}^{t}$和t=-2x²-8x+1两个函数符合而成，
第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间[-3，-2]上是单调增函数，
在区间（-2，1]上是单调减函数，
∴函数y=${（\frac{1}{3}）}^{-{2x}^{2}-8x+1}$的单调减区间是[-3，-2]，单调增区间是（-2，1]．

点评 本题考查了指数型复合函数的应用问题，求值域时要分两步，第一步求出内层函数在定义域上的值域，第二步求外层函数在内层函数值域上的值域，是综合性题目．