Question

10．如图所示，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左，右焦点分别为F₁，F₂上顶点为B，延长BF₂交椭圆C于点A，且△ABF₁的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M、N分别为椭圆C的左、右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连接MP交椭圆C于点Q，连接PN并延长交椭圆C于点R，则直线QR是否经过一定点？若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和椭圆的定义可得4a=8，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（4，y₀）（y₀≠0），又M（-2，0），则K_MP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，得到直线MP的方程，代入椭圆方程求出M的坐标，同理可得R的坐标，求出K_QR，推出直线QR的方程为y=k_QR（x-x_Q）+y_Q，利用直线系求解即可得到定点的坐标．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
由椭圆的定义可得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₁的周长为4a=8，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设P（4，y₀）（y₀≠0），
又M（-2，0），则K_MP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，
故直线MP的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{6}$（x+2），
代入椭圆方程并整理得：（1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{18}$）x²+$\frac{2}{9}$y₀²x+$\frac{2}{9}$y₀²-4=0，
由韦达定理：-2x_Q=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-72}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，
可得x_Q=$\frac{36-2{{y}_{0}}^{2}}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，y_Q=$\frac{12{y}_{0}}{18+{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可解得：x_R=$\frac{2{{y}_{0}}^{2}-4}{2+{{y}_{0}}^{2}}$，y_R=$\frac{-4{y}_{0}}{2+{{y}_{0}}^{2}}$，
∴k_QR=$\frac{{y}_{R}-{y}_{Q}}{{x}_{R}-{x}_{Q}}$=$\frac{4{y}_{0}}{6-{{y}_{0}}^{2}}$，
故直线QR的方程为y=k_QR（x-x_Q）+y_Q，
即（6-y₀²）y-4y₀（x-1）=0，
∴直线QR恒过定点（1，0）．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．