Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞2}\end{array}\right.$
（1）当x∈[-1，5]时，求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x+1）＞3．

Answer 1

分析 （1）当-1≤x≤2时，配方法得-1≤（x-1）²-1≤3；当2＜x≤5时，0＜log₂（x-1）≤2，从而求值域；
（2）当x+1≤2，即x≤1时，（x+1）²-2（x+1）＞3，当x+1＞2，即x＞1时，log₂（x+1-1）＞3，从而解得．

解答 解：（1）当-1≤x≤2时，
f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴-1≤（x-1）²-1≤3；
当2＜x≤5时，f（x）=log₂（x-1），
∴0＜log₂（x-1）≤2，
故函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）当x+1≤2，即x≤1时，
（x+1）²-2（x+1）＞3，
即（x+2）（x-2）＞0，
解得，x＜-2；
当x+1＞2，即x＞1时，
log₂（x+1-1）＞3，
解得，x＞8；
故解集为（-∞，-2）∪（8，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用．