Question

6．如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且A，C，D三点共线，求k的值．

Answer 1

分析 根据A，C，D三点共线，得出$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{CD}$，利用向量相等列出方程组求出k的值．

解答 解：∵A，C，D三点共线，
∴存在λ∈R，使$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{CD}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-kλ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2λ=3}\\{-kλ=-2}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{3}{2}$，k=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了三点共线与向量共线的转化与应用问题，是基础题目．