Question

7．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，f（1）=$\frac{1}{4}$，则f（2015）=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（x+4）=-$\frac{1}{f（x）}$，f（x+8）=f（x），从而可得f（2015）=f（7）=-$\frac{1}{f（3）}$，而f（3）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=$\frac{5}{3}$，从而解得．

解答 解：∵f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x+2）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），
∴f（x）是周期为8的函数；
而2015=251×8+7，
∴f（2015）=f（7）=-$\frac{1}{f（3）}$，
∵f（3）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=$\frac{5}{3}$，
∴f（2015）=f（7）=$-\frac{3}{5}$．
故答案为：$-\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，同时考查了函数的周期性的应用．