Question

【题目】已知函数，，为自然对数的底数．

（Ⅰ）若为单调递增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当存在极小值时，设极小值点为，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）若为单调递增函数，则有恒成立，从而求的最小值即可得解；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中函数的单调性只需讨论时，通过讨论导数的正负得使得，使得，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以，结合，消去留，构造，可证得，进而只需证明，再构造函数利用单调性即可证得.

（Ⅰ）由题意知，

令，，

显然在上单调递增，且，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以．

若为增函数，则恒成立，即，即．

经检验，当时，满足题意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，为增函数，不存在极小值；

当时，，，，

故存在使得；

，令，，

显然在上单调递增，

故，故在上单调递增，

故，故，

因此存在使得．

因此在上单调递增，上单调递减，上单调递增．

，，

由代入消去得，

令，，

当时，，，

故时，，单调递减，

即在上单调递减，故，

故要证，只需证，

令，，

当时，，单调递增，

故当时，．

综上，成立．