Question

【题目】已知函数，，为自然对数的底数．

（Ⅰ）若为单调递增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当存在极小值时，设极小值点为，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由，可令，然后，，然后通过讨论的单调性，进而可以求出的最小值，又由为单调递增函数，即可求解.

（Ⅱ）利用导数的方法可得出，当时，①，利用，得②，然后，利用①和②可得，，进而令函数，利用的单调性，即可求证.

解：（Ⅰ）由题意知，

由为增函数可知恒成立．

设，，

令得，

当时，，单调递减，即单调递减；

当时，，单调递增，即单调递增．

故，又由为单调递增函数，则恒成立，因此，，所以，．

经检验，当时，满足题意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，．

又因为，，且在上单调递减，

所以存在使得，，

令，，

当时，，单调递增，

故，

又，在上单调递增，故存在使得．

因此有在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故，，利用

将代入消去得，

函数的对称轴为，

故在上单调递减，

因此，即成立．