Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）写出及直线的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（2）设是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，表示以为圆心，为半径的圆；（2）.

【解析】

(1)消去参数，即得的直角坐标方程，利用，，可将直线方程化为普通方程；

（2）计算点到直线的距离，再讨论直线与曲线的位置关系，即可得到答案；

（1）消去参数，即得的直角坐标方程为，

所以，当时，表示以为圆心，为半径的圆.

因为，

所以.

因为，，

所以直线的直角坐标方程为，即.

（2）圆心到直线的距离为，

若，即，圆与直线相交，点到直线的距离的最小值为0，

若，即时，则点到直线的距离的最小值为.

综上所述，当时，圆与直线相交，点到直线的距离的最小值为0；

当时，则点到直线的距离的最小值为.