Question

在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，BF与CD交于点O，设

AB

=

a

，

AC

=

b

证明：A、O、E三点在同一直线上，且

OA

OE

=

BO

OF

=

CO

OD

=2．

Answer 1

考点：平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：由BF与CD交于点O，把

AO

分两种情况用基底＜

a

，

b

＞线性表示，即

AO

=(1-λ)

a

+

λ

2

b

=

μ

2

a

+(1-μ)

b

，再利用向量相等的条件列式求得λ，μ的值，代入

AO

=

μ

2

a

+(1-μ)

b

进一步可得

AO

=

2

3

AE

，从而得到A、O、E三点在同一直线上，并得到

OA

OE

=

BO

OF

=

CO

OD

=2．

解答： 证明：∵BF与CD交于点O，
∴

BO

与

BF

共线，故可设

BO

=λ

BF

，
根据三角形加法法则：

AO

=

AB

+

BO

=

AB

+λ

BF

=

AB

+λ(

AF

-

AB

)=

AB

+λ(

1

2

AC

-

AB

)
=

λ

2

AC

+(1-λ)

AB

=(1-λ)

a

+

λ

2

b

，

CO

与

CD

共线，故可设

CO

=μ

CD

，
根据三角形加法法则：

AO

=

AC

+

CO

=

AC

+μ

CD

=

AC

+μ(

AD

-

AC

)=

AC

+μ(

1

2

AB

-

AC

)
=

μ

2

AB

+(1-μ)

AC

=

μ

2

a

+(1-μ)

b

．
∴

AO

=(1-λ)

a

+

λ

2

b

=

μ

2

a

+(1-μ)

b

．
则

1-λ= μ 2 λ 2 =1-μ

，解得：

λ= 2 3 μ= 2 3

．
∴

BO

=

2

3

BF

，

CO

=

2

3

CD

，
即BO：OF=CO：OD=2．
∴

AO

=

μ

2

a

+(1-μ)

b

=

1

3

a

+

1

3

b

，
又∵

AE

=

AB

+

BE

=

a

+

1

2

BC

=

a

+

1

2

(

AC

-

AB

)
=

a

+

1

2

(

b

-

a

)=

1

2

a

+

1

2

b

，
从而

AO

=

2

3

AE

，
即

AO

与

AE

共线，
∴A、O、E三点在同一直线上．
且

OA

OE

=2，
∴

OA

OE

=

BO

OF

=

CO

OD

=2．

点评：本题考查平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，解答此题的关键在于把所用向量用基底表示，是中档题．