Question

设椭圆Γ₁的中心和抛物线Γ₂的顶点均为原点O，Γ₁、Γ₂的焦点均在x轴上，过Γ₂的焦点F作直线l，与Γ₂交于A、B两点，在Γ₁、Γ₂上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的标准方程；
（2）若l与Γ₁交于C、D两点，F₀为Γ₁的左焦点，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值；
（3）点P、Q是Γ₁上的两点，且OP⊥OQ，求证：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值；反之，当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为此定值时，OP⊥OQ是否成立？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知点（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，点（-2，0），（

3

，-

3

2

）在椭圆上，由此能求出Γ₁和Γ₂的方程．
（2）

S△F0AB

S△F0CD

=

|AB|

|CD|

．当直线l的斜率存在时，由已知条件推导出

S△F0AB

S△F0CD

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

；当直线l的斜率不存在时，

S△F0 AB

S△F0CD

=

4

3

．由此得到

S△F0AB

S△F0CD

的最小值为

4

3

．
（3）若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

．若P、Q都不为长轴和短轴的端点，由已知条件能推导出

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7k2+7

12k2+12

=

7

12

，反之，对于Γ₁上的任意两点P，Q，当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

时，OP⊥OQ不成立．

解答： （1）解：∵在抛物线中，x≥0，∴（-2，0）在椭圆上，
∴在椭圆中，-2≤x≤2，∴点（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，
∴（

3

，-

3

2

）在椭圆上，
∵椭圆Γ₁的中心和抛物线Γ₂的顶点均为原点O，Γ₁、Γ₂的焦点均在x轴上，
∴设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，把（

3

，-

3

2

）代入，得：

3

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=3，
∴椭圆Γ₁的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
设抛物线方程为y²=2px，p＞0，把（4，-4）代入，得16=8p，解得p=2，
∴抛物线Γ₂的方程为y2 =4x．…（4分）
（2）（理）解：设F₀到直线l的距离为d，

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立方程

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
k≠0时，△=4k⁴+16k²+16-4k⁴ 2 +16＞0恒成立．
|AB|=x₁+x₂+2=

4(1+k2)

k2

，…（5分）
联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x 2 -8k 2 x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）=144k²+144＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2 )• 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，…（6分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（8分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，

S△F0 AB

S△F0CD

=

4

3

．…（9分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

的最小值为

4

3

．…（10分）
（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，
则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

．（11分）
②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，
设OP：y=kx，则OQ：y=-

1

k

x，P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），
联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

，解得xP2=

12

4k2+3

，yP2=

12k2

4k2+3

，…（12分）
同理，联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k x

，解得xQ2=

12k2

3k2+4

，yQ2=

12

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

12 3+4k2 + 12k2 3+4k2

+

1

12k2 3k2+4 + 12 3k2+4

=

7k2+7

12k2+12

=

7

12

，（13分）
反之，对于Γ₁上的任意两点P，Q，当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

时，
设OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，则xP2=

12

4k12+3

，yP2=

12k12

4k12+3

，
xQ2=

12

4k22+3

，yQ2=

12k22

4k22+3

，
由

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

，得

4k1 2 +3

12k12+12

+

4k22+3

12k2 2+12

=

7

12

，
即8k12k22k12+7k22+6=7（k12k22+k12+k22+1），亦即k₁k₂=±1，…（15分）
∴当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值

7

12

时，OP⊥OQ不成立，…（16分）．

点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积比值的最小值的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．