Question

设椭圆Γ₁的中心和抛物线Γ₂的顶点均为原点O，Γ₁、Γ₂的焦点均在x轴上，过Γ₂的焦点F作直线l，与Γ₂交于A、B两点，在Γ₁、Γ₂上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的标准方程；
（2）设M是Γ₂准线上一点，直线MF的斜率为k₀，MA、MB的斜率依次为
k₁、k₂，请探究：k₀与k₁+k₂的关系；
（3）若l与Γ₁交于C、D两点，F₀为Γ₁的左焦点，问

S△F0AB

S△F0AB

是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）（-2，0），（

3

，-

3

2

）在椭圆上，（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，可得Γ₁，Γ₂的标准方程；
（2）分类讨论，设l：y=k（x-1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可得结论；
（3）设F₀到直线l的距离为d，则

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

，分类讨论，利用韦达定理，求弦长，即可得出结论．

解答： 解：（1）（-2，0），（

3

，-

3

2

）在椭圆上，（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，
∴椭圆Γ₁：

x2

4

+

y2

3

=1，抛物线Γ₂：y²=4x …（4分）
（2）F（1，0）是抛物线的焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，…（6分）
因Γ₂准线为x=-1，设M（-1，m），k₀=-

m

2

，k₁=

y1-m

x1+1

，k₂=

y2-m

x2+1

，
∴k₁+k₂=

kx1-k-m

x1+1

+

kx2-k-m

x2+1

=-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（8分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1得A（1，2），B（1，-2），k₁=

2-m

2

，k₂=

-2-m

2

，
∴k₁+k₂═-m
∴k₁+k₂=2k₀，..…（10分）
（3）设F₀到直线l的距离为d，则

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

4(1+k2)

k2

（11分）
y=k（x-1），代入椭圆方程，可得联立方程（3+k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立
|CD|=|=

1+k2

•|x₃-x₄|=

12(1+k2)

3+4k2

，…（12分）
∴

S△F0AB

S△F0AB

=

1 2 d|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（14分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，∴

S△F0AB

S△F0AB

=

4

3

．…（15分）
∴

S△F0AB

S△F0AB

的最小值为

4

3

．…（16分）

点评：本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．