Question

3．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在R上的解析式；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，结合奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²-3，可得当x＜0时，函数f（x）的解析式；
（2）当x=0时，f（x）=0，结合（1）中结合，可得函数f（x）的解析式；
（3）结合（2）中函数的解析式，分类讨论满足f（x）=2x的x值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=（-x）²-3=x²-3，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+3，
（2）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=-f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+3，x＜0\\ 0，x=0\\{x}^{2}-3，x＞0\end{array}\right.$
（3）当x=0时，方程f（x）=0=2x，解之得x=0；
当x＞0时，方程f（x）=x²-3=2x，解之得x=3，或x=-1（舍去）；
当x＜0时，方程f（x）=-x²+3=2x，解之得x=-3，或x=1（舍去）；
综上所述，方程f（x）=2x的解集为{-3，0，3}

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．