Question

已知椭圆两个焦点F₁（-c，0）、F₂（c，0），P为椭圆一点．且PF₁•PF₂=c²，则离心率范围

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF₂|=2a整体求解余弦定理：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=|F₁F₂|²=4c²，整体化简求解．

解答： 解：由椭圆的定义得：|PF₁|+|PF₂|=2a
平方得：|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=4a²．①
又∵PF₁•PF₂=c²，∴|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=c²，②
由余弦定理得：
|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂=|F₁F₂|²=4c²，③
由①②③得：cos∠F₁PF₂=

c2

2a2-3c2

≤1，

2

c≤a，e≤

2

2

|PF₁|•|PF₂|=2a²-3c²，又|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²
∴2a²-3c²≤a²，a²≤3c²
即e≥

3

3

则此椭圆离心率的取值范围是：[

3

3

，

2

2

]
故答案为：[

3

3

，

2

2

]

点评：本题考察了椭圆的定义，三角形中定理，综合运算．