Question

在直角坐标系xOy中 已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上一点P（1，

3

2

），过点P的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于点A、B，且他们的斜率k₁，k₂满足k₁．k₂=-

3

4

，求证：
（1）直线AB过定点；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设直线l₁的方程为y=k1(x-1)+

3

2

，联立

y=k1(x-1)+ 3 2 x2 4 y2 3 =1

，得(3+4k12)x2+(12k1-8k12)x+4k12-12k1-3=0，由此利用已知条件能证明A，B关于原点O对称，即直线AB过定点O．
（2）设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），x₀≠±1，直线AB的方程为y₀x-x₀y=0，AB=2

x02+y02

，点P到直线AB的距离为d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，点P到直线AB的距离为d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，由此能求出△PAB面积的最大值．

解答： （1）证明：设直线l₁的方程为y=k1(x-1)+

3

2

，
联立

y=k1(x-1)+ 3 2 x2 4 y2 3 =1

，得(3+4k12)x2+(12k1-8k12)x+4k12-12k1-3=0，
解得x=1或x=

4k12-12k1-3

3+4k12

，即A（

4k12-12k1-3

3+4k12

，

-12k12-12k1+9

2(3+4k12)

），
同理，B（

4k22-12k2-3

3+4k22

，

-12k22-12k2+9

2(3+4k22)

），
∵k1k2=-

3

4

，∴k₂=-

3

4k1

，
∴

4k22-12k2-3

3+4k22

=

4(- 3 4k1 )2-12(- 3 4k1 )-3

3+4(- 3 4k1 )2

=

-4k12+12k1+3

3+4k12

，
同理，得

-12k22-12k2+9

2(3+4k22)

=

12k12+12k1-9

2(3+4k12)

．
∴A，B关于原点O对称，即直线AB过定点O．
（2）由（1）可设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），x₀≠±1，
则直线AB的方程为y₀x-x₀y=0，
∴AB=2

x02+y02

，点P到直线AB的距离为d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，
∴AB=2

x02+y02

，
点P到直线AB的距离为d=

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

，
∴S_△PAB=

1

2

AB•d=

1

2

•2

x02+y02

•

|y0- 3 2 x0|

x02+y02

=|y₀-

3

2

x0|，
令t=y₀-

3

2

x0，
则y0=

3

2

x0+t，
代入

x02

4

+

y02

3

=1，得x02+tx0+

t2

3

-1=0，
令△=t2-4(

t2

3

-1)≥0，解得|t|≤2

3

，
当且仅当

x0= 3 y0=- 3 2

或

x0=- 3 y0= 3 2

时，
|t|有最大值2

3

，∴△PAB面积的最大值为2

3

．

点评：本题考查直线过定点的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．