Question

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C₅²C₃²，摸出3个白球事件数为
C₃²C₂¹C₂¹；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A_i（i=，0，1，2，3），则
P（A₃）=

c 2 3

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

= 

1

5

，
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A₂∪A₃，又
P（A₂）=

c 2 3

c 2 5

•

c 2 2

c 2 3

+

c 1 3 c 1 2

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

=

1

2

，
且A₂、A₃互斥，所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=

1

2

+

1

5

=

7

10

；
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-

7

10

）²=

9

100

，
P（X=1）=C₂¹

7

10

（1-

7

10

）=

21

50

，
P（X=2）=（

7

10

）²=

49

100

，
所以X的分布列是


X的数学期望E（X）=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

点评：此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．