Question

在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC满足条件分别为①周长为10；②∠A=90°；③k_ABk_AC=1．则A的轨迹方程分别是a：x²+y²=4（y≠0）；b：

x2

9

+

y2

5

=1(y≠0)；c：x²-y²=4（y≠0），则正确的配对关系是（　　）

A．①a②b③c

B．①b②a③c

C．①c②a③b

D．①b②c③a

Answer 1

分析：①由△ABC的周长为10，知AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，由向量知识导出x²+y²-4=0，与c对应；③k_ABk_AC=1，由直线斜率导出x²+y²=4，与a对应．

解答：解：△ABC中，∵B（-2，0），C（2，0），A（x，y），
∴BC=4，

AB

=（-2-x，-y），

AC

=（2-x，-y），k_AB=

y

x+2

，k_AC=

y

x-2

，
①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，
故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；
②∠A=90°，故

AB

•

AC

=（-2-x，-y）（2-x，-y）=x²+y²-4=0，与a对应；
③k_ABk_AC=1，故

y

x+2

•

y

x-2

=1．即x²-y²=4，与c对应．
故选B．

点评：本题考查轨迹方程的求法，具体涉及到椭圆、圆、双曲线、向量、直线等基本知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．