Question

10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若△OAB的外接圆的圆心为（0，$\sqrt{2}$a），则双曲线C₁的离心率为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得渐近线为y=$±\frac{b}{a}$x，与椭圆方程联立解得A，利用两点之间的距离公式可得：$\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{b}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，解得$\frac{b}{a}$．利用双曲线C₁的离心率=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$即可得出．

解答 解：由双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得渐近线为y=$±\frac{b}{a}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{a}{\sqrt{2}}，\frac{b}{\sqrt{2}}）$，
则$\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{b}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
化为：b²-4ab+a²=0，
解得$\frac{b}{a}$=2-$\sqrt{3}$．
∴双曲线C₁的离心率=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．