Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从x²+y²=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点时，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；设点P（x_P，y_P）为圆x²+y²=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a²-b²=c²，解得a=2，b=1，
即有椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）先证：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上一点Q（x₀，y₀）的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1．
当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，
可得n²x²+m²（kx+t）²=m²n²，化简可得：
（n²+m²k²）x²+2m²ktx+m²（t²-n²）=0，①
由题可得：△=4m⁴k²t²-4m²（n²+m²k²）（t²-n²）=0
化简可得：t²=m²k²+n²，①式只有一个根，记作x₀，
x₀=-$\frac{{m}^{2}kt}{{n}^{2}+{m}^{2}{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}k}{t}$，x₀为切点的横坐标，
切点的纵坐标y₀=kx₀+t=$\frac{{n}^{2}}{t}$，
所以$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-$\frac{{m}^{2}k}{{n}^{2}}$，所以k=-$\frac{{n}^{2}{x}_{0}}{{m}^{2}{y}_{0}}$，
所以切线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
=-$\frac{{n}^{2}{x}_{0}}{{m}^{2}{y}_{0}}$（x-x₀），
化简得：$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1． 
当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1，
设点P（x_P，y_P）为圆x²+y²=16上一点，
PA，PB是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切线，
切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点A的椭圆的切线为$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1，
过点B的椭圆的切线为$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1．
由两切线都过P点，$\frac{{x}_{1}{x}_{P}}{4}$+y₁y_P=1，$\frac{{x}_{2}{x}_{P}}{4}$+y₂y_P=1，
即有切点弦AB所在直线方程为$\frac{x{x}_{P}}{4}$+yy_P=1．
M（0，$\frac{1}{{y}_{P}}$），N（$\frac{4}{{x}_{P}}$，0），
|MN|²=$\frac{16}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{16}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$）•$\frac{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}{16}$
=$\frac{1}{16}$（17+$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$+$\frac{16{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$）≥$\frac{1}{16}$（17+2$\sqrt{16}$）=$\frac{25}{16}$，
当且仅当$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{16{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$即x_P²=$\frac{64}{5}$，y_P²=$\frac{16}{5}$时取等，
则|MN|≥$\frac{5}{4}$，即|MN|的最小值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，以及基本不等式的运用，属于中档题．