Question

15．已知椭圆3x²+y²=12，过原点且倾斜角分别为θ和π-θ两条直线分别交椭圆于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积的最大值等于8$\sqrt{3}$，此时θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 设出直线过原点且倾斜角为θ的直线的方程和椭圆方程联立即可表示出矩形ABCD的面积；运用函数的单调性，求得f（t）的最小值，可得面积的最大值．

解答 解：设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为y=xtanθ，
代入3x²+y²=12，
求得x²=$\frac{12}{3+ta{n}^{2}θ}$，y²=$\frac{12ta{n}^{2}θ}{3+ta{n}^{2}θ}$，
由对称性可知四边形ABCD为矩形，
又由于0＜θ＜$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
所以四边形ABCD的面积S=4|x||y|=$\frac{48|tanθ|}{3+ta{n}^{2}θ}$，
设t=|tanθ|，t＞0，
则S=$\frac{48t}{3+{t}^{2}}$=$\frac{48}{t+\frac{3}{t}}$，（t＞0），
设f（t）=$\frac{3}{t}$+t，
f′（t）=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
当0＜t＜$\sqrt{3}$时，f′（t）＜0，f（t）递减，
t＞$\sqrt{3}$时，f′（t）＞0，f（t）递增．
因为f（t）在t=$\sqrt{3}$时，取最小值，
所以f（t）_min=f（$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$，
所以当|tanθ|=$\sqrt{3}$，即θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$时，
S_max=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查直线和椭圆的相关知识，三角函数的最值问题，考查换元法的思想，以及运算能力，属于中档题．