Question

20．己知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M（x，y）是圆C上的点，
（I）求$\frac{y+2}{x+2}$的取值范围；
（II）求（x+2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意设出圆的圆心坐标，由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求出圆心坐标，则圆的标准方程可求；
（2）由圆的方程画出图形．
（Ⅰ）由$\frac{y+2}{x+2}$的几何意义，借助于点到直线的距离公式求出圆的切线的斜率得答案；
（Ⅱ）由（x+2）²+（y+2）²的几何意义，即圆上的动点M与定点P距离的平方求得答案．

解答 解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），
则由题意可得：$\frac{|3a+4×0+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$，即$\frac{|3a+4|}{5}=2$，解得a=2．
∴圆C的标准方程为（x-2）²+y²=4；
（2）如图：
（Ⅰ）$\frac{y+2}{x+2}$的几何意义为圆上的动点M与定点P（-2，-2）连线的斜率，
设过P与圆相切的直线方程为y+2=k（x+2），即kx-y+2k-2=0．
由$\frac{|2k+2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，得$|2k-1|=\sqrt{{k}^{2}+1}$，两边平方得，3k²-4k=0，
解得：k=0或k=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y+2}{x+2}$的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）（x+2）²+（y+2）²的几何意义为圆上的动点M与定点P距离的平方，
∵|CP|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（-2-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴$|MP{|}_{min}=2\sqrt{5}-2$，
则（x+2）²+（y+2）²的最小值为$（2\sqrt{5}-2）^{2}=24-8\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．