Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x²+y²-6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰好使线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 化圆的一般式方程为标准方程，设出直线方程，和圆的方程联立，由已知可得A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系列式求得直线的斜率，得到直线方程，由点到直线的距离公式得答案．

解答 解：由圆C：x²+y²-6x+5=0，得（x-3）²+y²=4，
画出图形如图，
设OB所在直线方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-6x+5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由题意可得：x₂=2x₁，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=3{x}_{1}=\frac{6}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=2{{x}_{1}}^{2}=\frac{5}{1+{k}^{2}}$，
消去x₁ 得：${k}^{2}=\frac{3}{5}$，∴k=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．
由对称性，不妨取k=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
则直线方程为$y=\frac{\sqrt{15}}{5}x$，即$\sqrt{15}x-5y=0$，
则圆心C（3，0）到直线的距离为d=$\frac{|3\sqrt{15}-5×0|}{\sqrt{15+25}}=\frac{3\sqrt{15}}{2\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系故选的运用，训练了点到直线的距离公式的用法，是中档题．