Question

4．老子《道德经》云“道生一，一生二，二生三，三生万物．”这与裴波那契数列非常吻合，对于裴波那契数列{a_n}，可知${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$=a₂a₃，${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$=a₃a₄，…，则$\frac{{a}_{1}^{2}{+a}_{2}^{2}{+a}_{3}^{2}+…{+a}_{10}^{2}}{{a}_{10}}$=a₁₁．

Answer 1

分析 根据已知中对于裴波那契数列{a_n}，可知${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$=a₂a₃，${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$=a₃a₄，…，总结等式的变化规律，可得答案．

解答 解：∵对于裴波那契数列{a_n}，可知：
${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$=a₂a₃，
${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$=a₃a₄，
…，
归纳可得：${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+${a}_{3}^{2}$+…+${a}_{10}^{2}$=a₁₀a₁₁，
∴$\frac{{a}_{1}^{2}{+a}_{2}^{2}{+a}_{3}^{2}+…{+a}_{10}^{2}}{{a}_{10}}$=a₁₁，
故答案为：a₁₁

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．