Question

16．已知椭圆E：$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4$\sqrt{2}$（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．
（1）若△MAB垂心的纵坐标为-4$\sqrt{7}$，求点的P坐标；
（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（4$\sqrt{2}$，m），由A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），垂心H（4$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{7}$），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为-1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；
（2）设M（4$\sqrt{2}$，m），由A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），可得MA的方程为y=$\frac{m}{6\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．

解答 解：（1）设M（4$\sqrt{2}$，m），由A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
垂心H（4$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{7}$），由BH⊥MA，可得
k_BH•k_MA=-1，即有$\frac{4\sqrt{7}}{-2\sqrt{2}}$•$\frac{m}{6\sqrt{2}}$=-1，
可得m=$\frac{6}{\sqrt{7}}$，
由MA的方程：y=$\frac{1}{\sqrt{14}}$（x+2$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，可得
8x²+4$\sqrt{2}$x-48=0，
解得x=-2$\sqrt{2}$，或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即有P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$）；
（2）设M（4$\sqrt{2}$，m），由A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
可得MA的方程为y=$\frac{m}{6\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，可得
（36+m²）x²+4$\sqrt{2}$m²x+8m²-288=0，
由-2$\sqrt{2}$x_P=$\frac{8{m}^{2}-288}{36+{m}^{2}}$，可得x_P=$\frac{（72-2{m}^{2}）\sqrt{2}}{36+{m}^{2}}$，
y_P=$\frac{m}{6\sqrt{2}}$（x_P+2$\sqrt{2}$）=$\frac{24m}{36+{m}^{2}}$；
又MB：y=$\frac{m}{2\sqrt{2}}$（x-2$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，可得
（4+m²）x²-4$\sqrt{2}$m²x+8m²-32=0，
由2$\sqrt{2}$+x_Q=$\frac{4\sqrt{2}{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$，可得x_Q=$\frac{（2{m}^{2}-8）\sqrt{2}}{4+{m}^{2}}$，
y_Q=$\frac{m}{2\sqrt{2}}$（x_Q-2$\sqrt{2}$）=-$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，
即有直线PQ的斜率为k=$\frac{{y}_{Q}-{y}_{P}}{{x}_{Q}-{x}_{P}}$=$\frac{8m}{\sqrt{2}（12-{m}^{2}）}$，
则直线PQ：y-$\frac{24m}{36+{m}^{2}}$=$\frac{8m}{\sqrt{2}（12-{m}^{2}）}$（x-$\frac{（72-2{m}^{2}）\sqrt{2}}{36+{m}^{2}}$），
化简即有y=$\frac{8m}{12-{m}^{2}}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-1），
由$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-1=0，解得x=$\sqrt{2}$，y=0．
故直线PQ恒过定点（$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查直线方程的运用以及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．