Question

6．如图程序框图中，当n∈N^*（n＞1）时，函数f_n（x）表示函数f_n-1（x）的导函数，即f_n（x）=f′_n-1（x）．若输入函数f₁（x）=sinx+cosx，则输出的函数f_n（x）为（　　）

• A． $\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$
• B． $-\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$
• C． $\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$
• D． $-\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$

Answer 1

分析 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出函数f_n（x），模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解答 解：∵函数f₁（x）=sinx+cosx，f_n（x）=f′_n-1（x）．
∴第1次执行循环体后，f₂（x）=-sinx+cosx，n=3，不满足退出循环的条件；
第2次执行循环体后，f₃（x）=-sinx-cosx，n=4，不满足退出循环的条件；
第3次执行循环体后，f₄（x）=sinx-cosx，n=5，不满足退出循环的条件；
第4次执行循环体后，f₅（x）=sinx+cosx，n=6，不满足退出循环的条件；
第5次执行循环体后，f₆（x）=-sinx+cosx，n=7，不满足退出循环的条件；
…
第2014次执行循环体后，f₂₀₁₅（x）=-sinx-cosx，n=2016，不满足退出循环的条件；
第2015次执行循环体后，f₂₀₁₆（x）=sinx-cosx，n=2017，不满足退出循环的条件；
故输出的函数为：f₂₀₁₆（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．