Question

15．如图所示，设a、b为异面直线，AB⊥a于A，AB⊥b于B
（1）如图1，α为平面，若a∥α，b∥α．求证：AB⊥α；
（2）如图2，若a⊥α，b⊥β．α∩β=c．求证：AB∥c

Answer 1

分析 （1）在α内构造分别于a，b平行的直线a'，b'，只需证明a'，b'是相交直线即可；
（2）设b与β的交点为N，过B作α的垂线BM，利用线面垂直的性质即可得出a∥BM，故而AB⊥平面BMN，由线面垂直的性质可得c⊥b，c⊥BM，故而c⊥平面BMN，于是c∥AB．

解答 证明：（1）∵a∥α，b∥α，
∴存在a'?α，b'?α，使得a∥a'，b∥b'．
∵若a'∥b'，则a∥b，与a、b为异面直线相矛盾，
∴a'，b'为相交直线．
∵AB⊥a，AB⊥b，
∴AB⊥a'，AB⊥b'．
∴AB⊥α．
（2）设b与平面β的垂足为N，过B作BM⊥α，垂足为M，
∵a⊥α，BM⊥α，
∴a∥BM，∵AB⊥a，
∴AB⊥BM，又∵AB⊥b，b∩BM=B，
∴AB⊥平面BMN．
∵BM⊥α，b⊥β，α∩β=c，
∴BM⊥c，b⊥c，又b∩BM=B，
∴c⊥平面BMN，
∴AB∥c．

点评 本题考查了线面平行的性质与判定，构造直线是解决问题的关键之处．