Question

14．已知圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求圆C的直角坐标方程和圆心和圆心C的极坐标；
（2）若斜率为2，且过点P（0，a）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；
（2）求出直线l的参数方程，代入圆的普通方程，根据参数得几何意义和根与系数的关系列出方程解出a．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，即x²+y²-4y=0．
∴圆C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4．圆心C（0，2）．
∴圆心C的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$）．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t}{\sqrt{5}}}\\{y=a+\frac{2t}{\sqrt{5}}}\end{array}\right.$（t为参数）．
将直线l的参数方程代入x²+（y-2）²=4得t²+$\frac{4a-8}{\sqrt{5}}t+{a}^{2}-4a=0$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|a²-4a|=3．
解得a=1或3或2$±\sqrt{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义，属于基础题．