Question

17．已知圆C的一条直径上的两个端点的坐标为（1，1），（1，5）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线3x-4y+4=0截圆C所得弦长l的值；
（3）从圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PT，T为切点，使|PT|=|PO|（O为原点），求|PT|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标，和半径即可得到结论．
（2）根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．
（3）根据条件建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）圆心坐标为C（$\frac{1+1}{2}$，$\frac{1+5}{2}$），即C（1，2），2r=|5-1|=4，即半径r=2，
则圆C的标准方程为（x-1）²+（y-3）²=4．
（2）圆心C到直线3x-4y+4=0的距离d=$\frac{|3-4×3+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
则弦长L=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{{2}^{2}-{1}^{1}}=2\sqrt{3}$．
（3）∵C（1，3），半径r=2，
∴作切线PT，连接PC，CT，由平面几何知识得|PT|²=|PC|²-|CT|²=（a-1）²+（b-3）²-4，
∵|PT|=|PO|，
∴（a-1）²+（b-3）²-4=a²+b²，
得a+3b-3=0，
|PT|_min=|PO|_min=$\frac{|-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的运算和推理能力．