Question

10．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．
（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；
（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？

Answer 1

分析 （1）容易求得MA=2，可说明△AMC为Rt△，从而可以得出$MA=\frac{2}{sinθ}，BM=10-\frac{2}{tanθ}$，这样根据题意即可求出$y=\frac{60（2-cosθ）}{sinθ}+300$，$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$；
（2）可求导数得到$y′=\frac{60（1-2cosθ）}{si{n}^{2}θ}$，可以判断导数符号，从而可以得出$θ=\frac{π}{3}$时y取到最小值，可求出此时BM的长度．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；
∴AC=2；
BC⊥CD，BC⊥AD；
∴BC⊥平面ACD，AC?平面ACD；
∴BC⊥AC；
∴$AM=\frac{AC}{sinθ}=\frac{2}{sinθ}，MC=\frac{AC}{tanθ}=\frac{2}{tanθ}$，$BM=10-\frac{2}{tanθ}$；
∴$y=30（10-\frac{2}{tanθ}）+60•\frac{2}{sinθ}$=$\frac{60（2-cosθ）}{sinθ}+300$，（$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$）；
（2）$y′=\frac{60[si{n}^{2}θ-cosθ（2-cosθ）]}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{60（1-2cosθ）}{si{n}^{2}θ}$；
令y′=0得，cosθ=$\frac{1}{2}$；
∵$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
∴$α≤θ＜\frac{π}{3}$时，$cosθ＞\frac{1}{2}$，1-2cosθ＜0，y′＜0，$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$时，y′＞0；
∴$θ=\frac{π}{3}$时，y有最小值，此时$BM=10-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴当BM长为$10-\frac{2\sqrt{3}}{3}$米时，才能使造价y最低．

点评 考查三角函数的定义，线面垂直的判定定理，根据实际问题建立函数关系的方法，以及根据导数符号求函数最值的方法，注意正确求导．