Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴一个端点到右焦点F的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=m（m＞a）交于M点，若直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，b=1，即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）由F（$\sqrt{3}$，0），设直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及等差数列的中项性质，和直线的斜率公式，计算化简即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
可得c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由F（$\sqrt{3}$，0），设直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），
代入椭圆方程x²+4y²=4，可得
（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
设M（m，k（m-$\sqrt{3}$）），
由直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，可得
2•$\frac{k（m-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{y}_{1}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=$\frac{k（{x}_{1}-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{k（{x}_{2}-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$
即为2k-$\frac{1}{m-\sqrt{3}}$=2k-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2\sqrt{3}}{{x}_{1}{x}_{2}+3-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韦达定理，可得$\frac{1}{m-\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
解得m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及等差数列的中项性质，和直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．