Question

8．某种产品广告的支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据及统计数据．

广告支出x/万元	1	2	3	4
销售收入y/万元	12	28	42	56

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{4}$（$\overline{x}$i-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{4}$（$\overline{x}$i-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）
$\frac{5}{2}$	$\frac{69}{2}$	5	73

$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求出y与x的回归直线方程；
（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？

Answer 1

分析 （I）根据所给的数据构造有序数对，在平面直角坐标系中画出散点图．
（II）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．
（III）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．

解答 解：（Ⅰ）作出的散点图如图

（Ⅱ）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：

序号	x	y	x2	xy
1	1	12	1	12
2	2	28	4	56
3	3	42	9	126
4	4	56	16	224
$\sum_{\;}^{\;}$	10	138	30	418

可得$\overline{x}=\frac{5}{2}$，$\overline{y}=\frac{69}{2}$．
所以b=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{418-4×\frac{5}{2}×\frac{69}{2}}{30-4×5{2}^{2}}=\frac{73}{5}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}=\frac{69}{2}-\frac{73}{5}×\frac{5}{2}=-2$．
故y对x的回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{73}{5}x-2$．
（Ⅲ）当x=9时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{73}{5}×9-2=129.4$．
故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法，散点图的意义，利用线性回归方程进行数值估计，属于基础题．